「１＝０．９９９９・・・・・・」の謎
（テーマ提供者 ログさん）
１＝０．９９９９・・・・・・ 投稿者：ログ 投稿日： 9月17日(火)22時10分08秒
本日ガジ様と悪戦苦闘していた
「１＝０．９９９９９・・・」
何で？と思う皆様。こういうことでございます。
「１
− ＝０．３３３・・・・・・・
３ 」ですよね？（ガジ様が「ここが違う！！」といっていた気がする ）
同じものに同じ数字をかけても同じですよね？
ということは、両辺に３をかけると・・・・
あら不思議！
「１＝０．９９９９・・・・・」となってしまいます。
なぜだ〜〜〜〜〜！！！！
ガジ様、もっと詳しく説明してください〜〜〜
そして、この問題を見て
「おうっ！おいらがばっちり詳しく説明してやるぜいっ！」というかた。
ぜひぜひ、ダイヤモンド並みの硬度を持つ頭のログに、説明してください。
Re:０．９９９９９・・・・・・・ 投稿者：ガジ 投稿日： 9月17日(火)23時29分16秒
問題は、
０．３３３３３３３･･････の
「････････」に何を期待しているかだと思うのです。
ここに、暗黙の了解でひたすら３が続くと期待しているその数をどう表すか。
「････････」は「１２３４５６７８」でもなく、「３１４１５９２６」でもなく
「３３３３３３３３・・・」であるその数を正確に表す手段は
１／３（１÷３）しかないということです。（浮浪の館流表現なら「：３」）
でも、すっきりしないね・・・・・・。
Re:０．９９９９９… 投稿者：小杉原 啓 投稿日： 9月18日(水)01時17分05秒
久しぶりの書き込みです。
ガジさんたちが困ってらっしゃるようなので私も考えてみました。
無限の概念が入ってくるので簡単に答えるのはなかなか難しいですが、とりあえず１つの方法として。
２つの数の大きさの差を調べるために引き算をしてみます。
１−0.99999…＝0.000…
ここで、右の数は0が無限に続く（つまり、永遠に０以外の数がくることはない）数、すなわち０ということになります。
つまり１＝0.99999…ということがいえるわけです。
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Bingo/6941/
０．９９９９・・・ 投稿者：たつみ 投稿日： 9月18日(水)22時26分12秒
ｂｌｕｅ Ｂａｃｋｓ アメリカ流7歳からの微積分 Ｐ２０
０．９９９９・・・＝９/１０＋９/１００＋９/１０００＋９/１００００＋・・・・
＝９＊（１/１０＋１/１００＋１/１０００＋１/１００００＋・・・・）
＝９＊（１/１０−１）
＝９＊（１/９）
＝１
つまり、０．９９９９９・・・・＝１
なのじゃ なんてかいても、なんの解決にもならないか？
０．９９９９・・・＝ｘ とおく
９．９９９９・・・＝１０＊ｘ
これより ９＊ｘ＝９ だから ｘ＝１ とやってもおなじことですね。
０．９９９９・・・＝１でないとすると １と０，９９９９・・・のあいだに、０，９９９９９
・・・・以外のすうがあるはずなんだけど、そんな数はつくれるかい？
とやっても、同じことですね。僕には無理です。失礼しました。
０．９９９９・・・・ 投稿者：ガジ 投稿日： 9月18日(水)23時22分49秒
小杉原さん、たつみさんのご説明に感心させられているガジです。
ありがとうございます。
さて、ログさん。
これらを読んでどう思いますか。
そういえば、また「ブルーバックス」です。読んでみようか？
小杉原氏が「無限の概念が入」る、と書かれ、
たつみ氏の最初の式は「無限等比級数」
この質問は、最初「無限ってなんですか」でした。
ものすごく本質をついていた質問だった
・・・とこれまた感心
０．９９９・・・のキーワード 投稿者：ログ 投稿日： 9月19日(木)18時36分36秒
ガジ様・小杉原 啓様・たつみ様（五十音順）
質問にお答えいただきありがとうございます。
小杉原 啓様・たつみ様の考えによると
「０．９９９９・・・＝１」ということですよね。
この問題で鍵なのは、「無限」っぽいけど、
ログには「無限」がいまいちよく分かりません。
（実はたつみ様の使っている「＊」が何を意味するのかも分からない。情けない…。）
無限って「３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２６４３３８３２７９・・・・・」
みたいにず〜っと数字が続くってことですか？
それともめちゃくちゃ大きい数のことですか？５０００万無量大数とか…。（そんな数あるの？）
もうこのへんまで考えると頭の悪いログは混乱します。
「数学にときめく」では後者っぽいと思うのですが…。
皆さん助けてください。お願いします。
Re:０．９９９・・・のキーワード 投稿者：ガジ 投稿日： 9月19日(木)23時04分44秒
０．９９９９９・・・・＝１についての謎はどの程度、納得できましたか？
インターネットってすごいよね。
北海道や宮城からこんな風にアドバイスがいただけるんだから。
ところで、「＊」は「×」のことです。
２×３＝６をコンピュータ業界では
２＊３＝６と表すのです。
普段、プログラムを打ち込んでいる
コンピュータ部員は慣れ親しんでいるのですが、
ログさんが知っているはずはないですよね。
パニック！ ログ 投稿者：ログ 投稿日： 9月20日(金)19時22分58秒
今日、またまたガジ様から「無限」や
「０．９９９・・・・＝１」の説明をしてもらったログです。
もうこの頃こればっかりです。
今日のガジ様の説明は、私にとってかなり高レベルでした。
習ってない言葉もたくさん出てきたし・・・。（数列・級数etc・・でしたっけ？）
もっとたくさん勉強して基礎をそれなりに理解しないと
こういう問題は解くのが難しいんですね。
０．９９９９・・転載 投稿者：「浮浪の館」な人々 投稿日： 9月21日(土)21時07分22秒
浮浪の館の「正解者掲示板」にも多くの書き込みをいただきました。
2771. ガジ様 miya 2002/09/19 (木) 18:08
中学生には難しいかもしれませんね。以下のアドでも参考にしたらどうでしょうか。
http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-mok/qa.htm
2772. ガジ様先ほどのぺ−じのここも miya 2002/09/19 (木) 18:11
http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-mok/obenkyou.htm
2773. 雑感 ステップ ばい ステップ 2002/09/21 (土) 04:25
微積を習い出した頃・・・？と思うことがありました。
ｆ（ｘ）＞０、でも極限をとると
limｆ（ｘ）≧０、と等号が現れちゃうんですよね。
例えば、ｘ＞０のとき、ｘが『有限』なうちは
1/ｘ＞０で、どんなにｘを大きくしても1/ｘは０にならないのに、
lim（ｘ→∞）１/ｘ＝０になっちゃう！！
これって不思議だと思いませんか？
ε―δなんかが現れないと、どうにもならないなんて！
『無限』のなせる技なのでしょうか。
古来より「アキレス（０．９９９９・・・）は亀（１）においつけるか？」と多くの人々を悩ませてきたようですね。
う〜〜・・・。(>_<)
2774. おはようございます 高橋 道広 [URL] 2002/09/21 (土) 08:14
アキレウスの問題は、無限にものを加えると無限になるはずだと
いう考えからきたものです。そのころは物が粒子でできてえると
考えてました。だから直線を構成する点も粒子でできてるのです。
すると無限に加えると無限になるはずでしょ。
ピタゴラスも直角二等辺三角形が粒子でできてるはすだから２辺の
比は整数比になるはずで√２という数が出るのはおかしい ってんで
定理を内緒にしていたんですよ。
疑問のきっかけ 投稿者：ログ 投稿日： 9月23日(月)21時12分51秒
びっくりしました。掲示板のサブタイトルが・・・。
「０．９９９９・・・・の謎」に！
ログの疑問がここまでこの掲示板に影響を・・・。
本当に最初は小さなきっかけだったのです。
「結構前に、私が友達と世間話をしていたのです。
すると、友達がこんなことを言い出しました。
友達『ねえ、ログ。こーゆーの知ってる？ あのさ。１＝０．９９９・・・なんだよ？』
ログ『え？どういうこと？』
友達『３分の１＝０．３３３３・・・だよね？』
ログ『うん。』
友達『＝の両側に同じ数字をかけても等式は成り立つでしょ？』
ログ『まあね。』
友達『じゃあさ。両辺に３をかけてごらん。』
ログ『！！！あああっ』
その時は、それで終わりだったのですが、「数学にときめく」に
チラッと書いてあったのを見てフラッシュバックを起こしてしまったログ」
こうして、その後ガジ様はログの質問攻めに遭っています。
さらにログは掲示板にも書き込み、現在に至っているわけです。
ご協力していただいた皆様。ご協力してくださっている皆様。
本当に感謝しています。
ログはしっかり納得行くまでこの問題を追求するつもりです。
０．９９９９・・転載 その２ 投稿者：ガジ 投稿日： 9月28日(土)23時34分17秒
「浮浪の館」の「正解者掲示板」からの転載です。
（自分は、この１週間見ることができませんでした・・・。）
2776. Re: たくさんのご意見をありがとうございました 館長 2002/09/21 (土) 22:00
> 「館長さま」ありがとうございます。
どうぞ。お気軽にご利用ください。
そうそう，
０９９９９・・・
１）１
９
１０
９
１０
９
１０
９
ってのもあるそうな・・・
続・0.9999… 投稿者：小杉原 啓 投稿日： 9月29日(日)13時50分36秒
こんな有名な方法を忘れてました。
ｘ＝0.99999…とおくと、
10ｘ＝9.99999…
10ｘ−ｘ＝９ｘ＝９
＜※ここで無限の概念が必要になってきます。10ｘのどこか（といっても出てくるとすれば最後なんですが）に０が出てくるとすれば、ｘはその桁で終わっていることになります。ｘは無限に続いている数なので、10ｘについてもどこまでいっても０が出てこないことになります。つまり引き算をすれば小数点以下がごっそり相殺されることになるわけです。＞
ｘ＝１
無限という言葉にもいろいろな使い方があります。
「限りなく大きな数（無限大）」、「文字通り限りなく続く（これは今回の場合ですね）」、「ある数に限りなく近づける（極限）」…
また、高校で理系を選択すると、無限大同士の大小を比べるなんてことも…
興味があれば是非とも理系に進まれることをお勧めします。
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Bingo/6941/
(無題) 投稿者：くっしー 投稿日：10月 4日(金)23時22分52秒
こん○○は。やっと中間終わりました。
0.999・・・=1 の、両辺を10倍して
9.999・・・=10 0.999・・・を引いて、
9.000・・・=9.000・・・1
左辺は９です。右辺は９のあとに０が無限個続いた後１ですが
９のあとに０が無限個ということは→ ９です
と考えていました。似たような考えの方もいらっしゃるようですが。
あと、もしかすると「謎の教え子」さん、僕と知り合いですか？
無限 投稿者：ガジ 投稿日：10月 5日(土)00時55分34秒
くっしーさんへ
> 右辺は９のあとに０が無限個続いた後・・・・
小杉原さんも「Ｒｅ０．９９９９９・・・」で書かれていますね。
1-0.999999･･･＝0.00000････
でも、０が無限個続いた後はやっぱり０が無限に続くことになるよね。
0.99999････
=9/10+9/100+9/1000+･･･
=9*(1/10+1/100+1/100+･･･)
この続きが、たつみさんの書き込み。
くっしーさんにもブルーバックスの「数学にときめく」
の一読をお薦めしたいなぁ。
絶対におもしろく読めると思います。
カキコありがとうございました。 投稿者：柿原伸次 投稿日：10月 5日(土)11時58分39秒
ガジさんカキコありがとうございました。また来てください。
たしかに1-9.999・・・=0.000・・・と続くということは
0.999・・・が1であるということですね。
僕が着眼したところは1/3＝0.33333・・・には、常にあまり 0.000・・・1 があるということです。
たとえば0.333×３=0.999ですが、あまり0.001があるので、足すと１
他の人に比べてつまらない解答ですが、こういう説明が１番きれいだと思います。
あまりが本当は0.001/3＝0.000333・・・であるといわれるとおしまいなのですが、私はあまりというがそういうのを考えないものだと思うのです。あまりは割ることのできなかった残りの数なのですから、かけざんにも、割り算にも関与していない数なのだ！というのが僕の考えです。