風来の数学講師(ただし中学数学専門）＜Re: スコア順って残酷 投稿者：t-kamiya 投稿日：2010年 6月
5日(土)11時35分6秒 |
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こんにちは。
余計なお世話かもしれませんが、しゃしゃり出ます。
>
ひとつ気になるのが
> x^2+y^2=4 ←（ア）とします
>
x^2+y^2-4x-2y+1=0 ←（イ）とします
> の二つの交点と原点を通る円の方程式を求めろって問題で
>
>
k(x^2+y^2-4)+(x^2+y^2-4x-2y+1)=0 ←（ウ）とします
> ここのｋの意味がよくわかりません。
>
やりたいことはなんとなくわかるんですが、
ここの「なんとなく」を解消しておきましょうか。
まず、（ウ）の式が表しうる図形は何でしょうか？
この式のカッコをばらすと
x^2の項、y^2の項、xの項、yの項、定数項が出てきて（xyの項は存在しませんね）、
さらに「x^2の項とy^2の項の係数が（ともにk+1で）等しい」から（ここ重要）、
これは円の方程式になりますね（ほんとはちょっと説明不足。※補足参照）。
で、次。
kがどんな値をとっても、
（ア）と（イ）をともに満たす（x,y）の値（←つまりもとの２円の交点の座標）を
（ウ）に代入すれば、（ウ）式はかならず成立します
（だって、（ウ）式のカッコの中がどっちも0になりますからね！）。
ということはまとめると、（ウ）式は
・円の方程式 であり
・（ア）と（イ）の交点の座標を代入したときに成り立つ→（ア）と（イ）の交点を通る
ので、あとはここに(0,0)を代入してkを決めればよい、というのが全体の流れ。
※補足…（ウ）式は、k=-1のとき2次の項が消えますから、
このときに限っては「2円の交点を通る【直線】」を表すことになります。
※※さらに補足…当然、ここまでの話は（ア）と（イ）が２つの交点をもつことを
前提とした話であって、試験の答案ではまずそれを示す必要があるでしょう。
すごい分かりにくくなってきた……難しいな(汗
本題。
>
例えばじゃあなんで前にｋがついて後ろにｍとかがつかないんだろうとか思ったら
>
わからなくなりました…
この疑問はめちゃくちゃ核心を突いていて素晴らしいですね（偉そうですいません）！
ｍがつかなくてもいい理由。
k(x^2+y^2-4)+(x^2+y^2-4x-2y+1)=0
の両辺をkで割れば、後ろのカッコに係数
1/kがつく代わりに、
前のカッコのkが消えますよね？
もうちょい具体的な例を出すと、
2x+6y-4=0 は x+3y-2=0 と同じなので
だったら係数が簡単な後者の方がいいよね、みたいな感じです。
……ただし。
本当は疑問の通り、「ｍがついた方がいい」んです。
理由は、
「（ウ）式は、（ア）と（イ）の交点を通る円（無数にある！）のなかでただ一つ、
「（ア）そのもの」を表すことができない」
からです。
これも感覚的な例を出しますと、方程式kx+y=0は原点を通る直線を表しますが、
この式をどういじっても、原点を通る直線である「x=0」を表すことはできませんね？
（中２で習ったかな？）
いまの話を（ウ）式で考えると、分かってくるんではないかな？
あとはガジ先生に任せた！（逃げるんかい）
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