２０１２．７．２９
分かりやすい微分・積分について
永井建哉
参考）リンク先 素数分布の研究
微分・積分と聞くだけで苦手意識のアレルギーの人もいるだろうし、あるいはそれ以前に聞きなれない言葉だと思う人がいるかもしれない。確かに日常の会話ではなかなか出てこない数学上の語彙である。しかし現象としては日常の生活にいくらでも存在しており、科学の究明においても極めて大事な基本的な数学である。したがって数学や科学の専門でない一般の人でも、微分・積分とは、およそどんなことで、何故必要なのかを知ることは大事だと思う。 そこで具体的な例で理解を深めてもらい、数学との架け橋となるように、分かりやすく説明をする。
Ⅰ微分・積分の概念（数式を用いず説明）
１ 微分の概念
微分するとは簡単にいえば変化する量の割合を求めることをいう。例えば車で走行するとどんどん走行距離が増え、一時間あたりどれだけ走ったかは時速何Ｋｍという速度で表される。この単位時間あたりの距離の変化、すなわち速度が微分値として表される。このほか変化するものは日常生活に一杯ある。例えば子供の身長や雨量など時間的に変化するもの、時間的な変化でなくても、収入の増減に伴う納税額や、体重の変化に伴う腹囲の変化など色々ある。これらはすべてそれぞれの時点での変化率が存在する。
では何故その変化率をわざわざ微分など難しい言い方をするのかという疑問が湧いてくる。それはこれから順次説明していくが微分とは数学的な手段であり計算によってその変化率を求めることができるからである。一定の変化率（例えば一定速度）なら簡単だが、変化率自体が変化している（例えば時間によって速度が異なる）場合はこの計算手段が必要となってくる。
では次に車の速度の例で微分を説明する。
図１ 一定速度における走行時間と距離の関係
図１は一定速度での時間と距離の関係を示している。青線は時速６０Ｋｍの場合である。一定速度であるから１時間後に６０Ｋｍ走り、０．５時間ならその半分の３０Ｋｍと直線関係になる。時速４０Ｋｍの場合（赤線）も同様に１時間後に４０Ｋｍで、時間に比例した直線関係になる.。この速度の差はグラフの上でどう違うかというと、直線の傾き（勾配）が違うことが容易に分かる。速度の速い方が傾きは立っており、遅い方が寝ている。この勾配の差が速度差である。これは次の一定速度でない場合の説明で重要な役割となる
図２ 速度一定でない場合の走行時間と距離の関係
図２は時間と距離の関係が直線でない場合、つまり一定速度でない場合の例である。最初の０．１時間は１～２Ｋｍしか進んでいないのに途中の０．５～０．６時間の間は５ｋｍ以上進んでおり速度が速いのが分かる。 全体としては１時間後に４０Ｋｍ走行したから平均速度は時速４０Ｋｍであることは確かであるが、中間の０.５時間での速度はどうだろう？どうして求めれば良いのだろう。
図３ Ｐ点での速度の求め方
図３は図２と同じ走行時間と距離の関係のグラフであるが、中間点である０．５時間での速度の求め方を図示している。まず最初、図にあるＰとＱ１間の平均速度を求める。これはＰとＱ1を結んだ直線であり、半時間で２０Ｋｍ進んでいるのでこの間の平均時速は４０Ｋｍである。つまり時速４０Ｋｍの勾配といえる。しかしこの速度はＰ点の速度とは言えないので、次によりＰ点に近いＰ点とＱ2点間の平均速度を見てみよう。これは同様にＰ点とＱ2点を結ぶ直線である。先ほどより勾配が立っており平均速度が速い。さらにＱ3点を結ぶ直線での速度と、どんどん曲線上でＰ点に近づけばＰ点の速度に近づく。そして勾配はＰ点に近づくにつれ、変化は少なくなり一定の勾配に近づく。完全にＰ点と重なると点になり直線でなくなるが、限りなくＰ点に近づけた時の直線をＰ点における接線と呼ぶ。そしてこの接戦の勾配こそが、その点における速度を表す。
微分もこの作図と全く同じ考え方で行う。ＰとＱの２点間の距離を限りなく微小にした変化率を求めるという意味で微分という言葉が使われている。ただ数学として微分するには、時間と距離の関係が微分可能な数式で表せていないと微分できない。いかに数学といえど、手書きで自由に曲線を描いてこれを微分せよといわれてもできないのである（その曲線に近い式に置き換えて微分するといった近似法しかない）。曲線の式が与えられば、それを微分した式は曲線の各点の接線を表す式となる。図３は三角関数の関係式である（式は省略）が、これを微分して時間と速度（接戦の勾配）の関係式が得られる。その結果は図４の通り。
図４ 走行時間と速度（微分結果）
出だしゼロからだんだん加速して０．５時間後には最高速度、約６３Ｋｍ/時間に達しそれからどんどん減速して１時間のちには停止するという関係が得られた。各時間での接線をいちいち作図して求めなくても、対象の１時間以内のどの時点の速度も求められた。これが微分という数学の武器による威力である。数式を微分するのは少し難しくなるので興味のある人は次項の微分の基礎計算を参照。
２ 積分の概念
積分とは簡単にいえば微分と逆の操作である。先の例でいえば、走行時間と距離の関係（図２）を微分して走行時間と速度の関係（図４）を得たが、逆に走行時間と速度の関係（図４）を積分して走行時間と距離の関係（図２）が得られる。 まず簡単な例から考えよう。 下図５は速度一定で１時間走行した場合である。
図５ 速度一定の場合
青色の線は、一定速度60Ｋｍ/時間を表している。どの時間を取っても60Ｋｍ/時間なので横一直線になっている。さてこの時走行距離を考えてみよう。１時間後は当然のことながら60Ｋｍを走ったことになる。では0.5時間（半時間）ではどうだろう。これは60Ｋｍ/時間×0.5時間だから30Ｋｍであることがわかる。これを上のグラフの図でみると草色の面積に相当する。
他の時間でも時間と速度の積であるから、それで形成される長方形の面積を求めればよいことが分かる。この面積を求めることが積分なのである。時間が経つに従って面積が増えて積算されていくことが分かる。そこから積分という言葉ができた。次に速度一定でない場合をみてみる。
図６ 速度変化直線の場合
上の図は速度が０から６０Ｋｍ/時間まで直線線的に変化した場合である。この時、１時間で走行した距離はいくらか。これは先ほどの考え方から草色の面積であることが分かる。図５の１時間の長方形の面積である６０Ｋｍの半分であるから３０Ｋｍであることが分かる。あるいは三角形の面積の求め方で（１時間×６０Ｋｍ/時間）/２＝３０Ｋｍと簡単に計算できる。しかし直線でなく下図のように曲線の場合はどうだろう。そうは簡単にはいかない。
図７ 速度変化曲線の場合
図７の場合も１時間後の走行距離は草色の面積であるが、見た目でこの面積は計算できない。ところがこの青色の線が積分可能な数式であれば計算できるのである。これは２次曲線なので、それを積分して１時間までの走行距離＝２０Ｋｍの答えが得られる。それはどのように数式を積分して計算できるかは少し難しくなるのでここでは略する（次項の積分の基礎計算を参照）。
Ⅱ 微分・積分の基礎計算
１ 微分の基礎計算
前項の図１で、距離をｙ（Ｋｍ）とし時間をｘ（時間）とすると、時速６０Ｋｍの時はｙ＝６０ｘなる関係式が得られる。このとき、時間が経てばそれに応じて距離が変わるので、時間ｘを変数と言い、距離ｙはｘの関数とよぶ。その関数を一般にｆ（ｘ）やｇ（ｘ）などの形で表す。先の例ではｆ（ｘ）＝60ｘという関数を定義できる。
次に一般的なｆ（ｘ）について微分することを考える。この場合前項の図３と同じ考え方で求める。 ｘ＝a におけるｆ（ｘ）の微分を次図８で考える。
図８ 関数 ｆ（ｘ） の微分
図８で青色の曲線はｆ（ｘ）を表している。 ｘ＝a における微分は、曲線上の点Ｐでの接線を求めることになる。 いきなり接線を求められないのでまずｘ＝a から少しΔｘだけ離れたｘ＝a+ΔｘにおけるＱ点とｘ＝aでのＰ点を結ぶ直線の勾配を求める。 両点の高さはf(x)のｘのところに、それぞれa、a+Δxを代入すれば良い。従ってＰ点
の高さはｆ（a)であり、Ｑ点の高さはｆ（a＋Δx）となる。 このときＰとＱを結ぶ直線の勾配は、
となる。そしてこのΔｘをどんどん限りなく小さくすることによりＱ点を限りなくＰ点に近づければＰ点での接線になる。これを数学的な式で表すと、
①式の前に書かれている記号はリミットΔｘテンド０と読み、①式においてΔｘを限りなくゼロとした時の極限値を求めるものである。
具体例として図８の曲線でもある、ｆ（ｘ）＝ｘ2の場合を考えてみよう。
この結果ｘ＝a においてｆ（ｘ）＝ｘ2 を微分した値は２aとなる。 つまりｘ＝a におけるＰ点での接線である。これが図３のように横軸が時間で、縦軸が距離なら時間なら時間aにおける瞬間速度を意味することになる。 なおこの式で初めからΔｘ＝0とするのは分母が０になり成立しない。 Δｘがゼロではなく限りなくゼロに近いということで、分母分子をΔｘで約分できたのである。 限りなくという言葉はなにかあいまいな感じがするかもしれないが数学的には厳密に定義されている。その説明はむつかしくなるのでここでは略するが、概念的にΔｘががゼロに近づけば③式で２aに収束することを理解していただければ良い。
この微分を表す式として
と記述される。 これらをｘ＝aにおけるｆ（Ｘ）の微分係数と呼ぶ。 この微分係数はＸ＝a だけでなくあらゆるＸの範囲で成り立つ時、一般的な式として
で表せる。 これをｆ（ｘ）の導関数と呼ぶ。 ｆ（ｘ）が先の例のｆ（ｘ）＝ｘ2の場合、ｆ’（a)=2aであったが、ほかの任意の点ｂでもｆ’（b)=2bが成り立つので、
一般的にｆ’（ｘ）＝２ｘなる導関数で表すことができる。このように、関数が具体的に分かっている場合は、（ｘ2）’＝２ｘという書き方もする。
導関数が分かればｘが任意の値での微分係数が分かる。 例えばｆ（ｘ）＝ｘ2 についていえば、ｘ＝７での微分係数はｆ’（７）＝２×７＝１４となる。
その他の簡単な導関数の公式は次の通り（証明略）、
（a)'=0 (aは数値）、（ｘ）’＝１ 、（ｘ２）’＝２ｘ、（ｘ３）’＝３ｘ２、・・・・・、（ｘｎ）’＝ｎｘ（ｎ-１） （ｎは１．２．３．・・・の自然数）
(sin x)'=cos x、(cosx)'=-sin x など
また関数の和の微分について、次の公式が成り立つ（証明略）、
｛ a×ｆ（ｘ） ＋ b×ｇ(x) ｝’＝ a×ｆ’（ｘ） ＋ b×ｇ’(x) （a,
b はｘを含まない数値）
以上の関係を使って、例えば（２ｘ3-５ｘ2＋１０x-８）を微分すると
（２ｘ3-５ｘ2＋１０x-８）’＝２×（ｘ3）’ー５×（ｘ2）’＋10（ｘ）’-（８）’
＝２×３ｘ2ー５×２ｘ＋１０×１ー０＝６ｘ2ー10ｘ＋10
となる。
２ 積分の基礎計算
(1)不定積分
Ⅰ項では積分の概念としてグラフ上での曲線（または直線）で囲まれた面積を表すと説明してきたが、そのことは後述の定積分で説明とするとして、まず積分の定義を説明する。積分は微分の逆演算であり、次の関係にある。
Ｆ（ｘ）を微分してｆ（ｘ）になるという関係は Ｆ’（x)＝ｆ（ｘ）で表したが、逆にｆ（ｘ）を積分してＦｘ）になるという関係は、
と記述される。 ここで∫はインテグラルと読み積分の演算の記号である。
ただ問題は微分してｆ（Ｘ）となるのはＦ（ｘ）に限られず、Ｆ（ｘ）＋３も、Ｆ（ｘ）-２も微分するとｆ（ｘ）になる。一般にＦ（ｘ)＋Ｃ（Ｃは任意の定数）を微分するとｆ（ｘ）になる。
つまり、 ｛Ｆ（ｘ）＋Ｃ｝’＝Ｆ’（ｘ）＋（Ｃ）’＝Ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）となるからである（注：先の微分の公式にあるように定数Ｃは微分するとゼロとなる）
従って先のｆ（ｘ）の積分の結果は一義的にＦ（ｘ）でなく、一般式として次のようになる。
ここでＦ（ｘ）を原始関数と言い、Ｃを積分定数と呼ぶ。そしてＣは特定の値に定まらないのでこの積分を不定積分と言う。
次にどのようにして積分するのかを説明する。 これは微分の公式から逆算することになる。
（ｎは１．２．３．・・・の自然数）
なお関数の和の積分も微分の時と同様に次の式が成り立つ（証明略）、
これらに基づき次に計算例を示す
となる。 ちなみに、この結果を微分すると、（２ｘ3－２ｘ2＋５ｘ＋Ｃ）’＝６ｘ2－４ｘ＋５ となり、積分される前の原始関数に戻ることが確認できる。
（２）定積分
不定積分は前項で説明したように、Ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）なら、
である。この関係にある時、定積分では次のように定義される。
この式の左辺の読み方はインテグラルaからｂ・エフエックス・ディーエックスなどと言う。 これはｘ＝aからｘ＝ｂまでの範囲を積分することを意味する。そしてそれは上の図に示すようにa,b間の範囲で囲まれた緑色部分の面積となる。 なぜそのようになるかは次に説明する。なお不定積分のように不定のＣを含まず値が一義的に決まるので定積分と呼んでいる。
下図 ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフにおいてｘ＝ｘ0とｘ＝ｘで囲まれる面積をＳ（ｘ）とする。 そしてｘ0 以降にx=a とx=b があるとする。 つまりｘ0＜a＜x＜ｂ に位置付けして考える。
図９ 定積分の説明図 １
ｘよりΔｘはなれた所での面積の増分をΔＳとする。 このΔＳは拡大図における高さｆ（ｔ）の長方形と面積が一致するｘ＝ｔの地点が存在する筈である。
つまりΔＳ＝Δｘ×ｆ（ｔ） となる。 しかしΔｘ→０ のとき ｔ→ｘ となり ｆ（ｔ）→ｆ（ｘ） となることから次式が成り立つ。
つまりＳ’（ｘ）＝ｆ（Ｘ）という関係にあることから、次の不定積分が成り立つ。
この関係が成り立つ時、aからbの定積分は定義から、
となる。これはなにかというと、先のグラフにおいて、ｘ＝a と ｘ＝b の間でｆ（ｘ）とｘ軸で囲まれた面積である（下図の橙色の部分）。このことから定積分はf(x)のグラフにおいてｘのある区間内での面積であると言える。
図10 定積分の説明図 ２
次に前項の図８（下図）を例に取って計算を試みる。 このグラフは、走行時間（ｘ）と速度（ｙ）との関係である。 このとき、ｙ＝ｆ（ｘ）＝60ｘ2の関係式である。
草色の面積が走行距離となる。 スタートして１時間後の走行距離は
となり１時間で２０Ｋｍ走行したことが分かる。 ちなみに途中の０．４時間から０．６時間までの走行距離は、
という計算になり、この間約３Ｋｍ走行したことが分かる。
以上
